Finite Set, Infinite Set, Countable Set, Uncountable Set
Finite Set
A finite set is a set that has a finite number of elements. Informally, a finite set is a set which one could in principle count and finish counting. 1
- 원소의 개수를 세는 것을 멈출 수 있으면 finite set이다. 아래의 정의를 통해 더 명료히 할 수 있다.
Definition
Formally, a set $S$ is called finite if there exists a bijection \(f:S \rightarrow n\) for some natural number $n$.
- 의미하는 바는, 원소의 개수를 자연수 $n$으로 나타낼 수 있어야 한다.
- 이 때 $n$은 cardinality \(\lvert S \rvert\) 와 같다.
- bijection이란 one-to-one correspondence를 말한다. 2
- Finite set은 countable set이다.
보통 위와 같이 \(\rightarrow\)를 사용한 함수 표현은 화살표 앞뒤로 집합이 오고 stackexchange에서도 그런 얘기가 있는데, 위 정의에서는 갑자기 (집합이 아닌?) 수 $n$이 나와서 혼란이 있었는데… $n$을 1부터 $n$까지의 자연수들이 포함된 ($n$개의 원소가 들어있는) 집합으로 보면 의미상 맞아보인다.
Examples
\(\{1,2,3\}\) 과 같은 집합
Infinite Set
An infinite set is a set that is not a finite set. 3
- Finite set이 아닌 set은 infinite set이다.
- Infinte set은 countable일 수도 있고, uncountable일 수도 있다.
Examples
Countable:
- 자연수 집합 \(\mathbb{N}\)
Incountable:
- 실수 집합 \(\mathbb{R}\)
둘 다 원소의 개수를 셀 수는(=원소의 개수를 자연수로 나타낼 수는) 없다. 하지만 아래의 차이에 의해 가산(countable) 여부는 갈린다.
Countable Set
A set is countable if either it is finite or it can be made in one to one correspondence with the set of natural numbers. 4
- 집합의 원소를 자연수 집합에 일대일로 대응시킬 수 있거나, 자연수 집합의 부분집합에 일대일로 대응시킬 수 있으면 countable set이다.
- 원소의 개수를 자연수로 나타낼 수 있다는 것(=finite) 과 원소들을 자연수들에 일대일 대응시킬 수 있다는 것(=countable) 이 다르다. 이게 정말 tricky하다.
- 자연수 집합의 크기를 \(\aleph_0\) (aleph-zero, aleph-nought, aleph-null) 라고 표현하기도 한다.
- Infinite set 중 countable인 것들은 모두 그 크기가 \(\aleph_0\)이다.
Examples
- 자연수 집합 \(\mathbb{N}\)
- 정수 집합 \(\mathbb{Z}\)
- 유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)
Uncountable Set
집합의 Cardinality가 \(\aleph_0\)보다 큰 경우. 5
Examples
- 실수 집합 \(\mathbb{R}\)
2024.05.07