2. Brownian Motion

https://www.math.uchicago.edu/~lawler/inprogress

2.1 Limits of sums of independent variables

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2024.02.03

Theorem 2.1.1. Central Limit Theorem

mean of \(\mu\), variance of \(\sigma^2 < \infty\) 의 i.i.d.인 r.v. \(X_1, X_2, ...\) 에 대해
\(Z_n = \frac{(X_1 + ... + X_n) - n\mu}{\sigma\sqrt(n)}\) 라 하면 \(\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}\{a \le Z_n \le b\}=\Phi(b)-\Phi(a)\) 이다. (35p)
이 책에서는 \(\Phi\) 가 standard normal distribution의 pdf

• finite variance라면 \(X_n\) 이 어떤 분포를 가지든 sample mean은 잘 scale하면 normal로 근사 가능

Theorem 2.1.2.

Convergence to the Poisson
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}\{Y_n=k\}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)
Poisson distribution의 경우가 nonnormal limit의 예시. 가정에 따라 극한을 취한 결과는 다를 수 있음

2.2 Multivariate normal distribution

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2024.02.03

sequence of r.v. \((X_1, ... ,X_n)\) 이 joint/multivariate normal distribution을 가진다는 것은, 각각이 여러 independent standard normal r.v.들의 linear combination으로 나타내질 수 있다는 것.

• 즉 i.i.d.인 \(Z_n\) 과 상수 \(m_j, a_{jk}\) 에 대해 \(X_j=m_j+a_{j1}Z_1+a_{j2}Z_2+...+a_{jm}Z_m\) 인 것.
• \(a_{jk}\) 를 행렬로 나타내면 그것의 곱이 covariance matrix가 될 수 있음
  • mean-zero joint normal is determined by covariance matrix
• joint normal r.v.s의 special property는 orthogonal하면 independent하다는 것.
  그래서 \(\mathbb{E}(X_1,X_2)=0\) 이면 둘은 independent. (42p)

2.3 Limits of random walks

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2024.02.03

각 \(\frac{1}{2}\) 확률로 1 또는 -1이 나오는 r.v. \(X_j\) 가 있다고 하자. 이 때 \(\mathbb{E}[X_j]=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 0, Var[X_j]=(1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{2} + (-1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) 이다.

기본적으로는 time increment \(\Delta t = 1\), space increment \(\Delta x = 1\) 이다.
이 때 \(\Delta t = \frac{1}{N}\) 이라 하면, space increment \(\pm\Delta x\) 는 \(\frac{1}{N}\) 만큼의 시간 변화에 대응된다.

시간이 \(1=N\Delta t\) 만큼 변화할 때 이 process의 값은 \(W_1^{N}=\Delta x (X_1 + ... + X_N)\) 이다.
이 때 우리가 원하는 건, \(\Delta x\) 를 적당한 값으로 정해서 \(Var[W_1^{N}]=1\) 이 되게 만드는 것이다.

\[\begin{aligned} Var[W_1^{N}] & = Var[\Delta x (X_1 + ... + X_N)] \\ & = (\Delta x)^2[Var(X_1) + ... + Var(X_N)] \\ & = (\Delta x)^2 N \\ & = 1 \\ \end{aligned}\]

따라서 \(1 = (\Delta x)^2 N\) 이고, \(\frac{1}{N}=(\Delta x)^2\) , \(\Delta t=(\Delta x)^2\) 이다.

2.4 Brownian motion

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2024.02.04

BM is a model of random continuous motion.

• random continuous motion이 되기 위한 세 가지 가정(assumption):

  1. Stationary increments
  2. Independent increments
  3. Continuous paths

• 위 가정들을 만족하는 \(B_t\) 가 i.i.d.라면, \(s < t\) 에 대해

  • \(\mathbb{E}[B_t] = \mathbb{E}[B_s] + \mathbb{E}[B_t - B_s] = \mathbb{E}[B_s] + \mathbb{E}[B_{t-s}]\) ,
  • \(Var[B_t] = Var[B_s] + Var[B_t - B_s] = Var[B_s] + Var[B_{t-s}]\) .

Definition

• 다음을 만족하는 stochastic process \(B_t\) 를 Brownian motion with drift $m$ and variance \(\sigma^2\) 라고 한다.

  • \(B_0=0\).
  • \(s < t\) 에 대해 \(B_t - B_s\) 는 평균이 \(m(t-s)\) 이고 분산이 \(\sigma^2(t-s)\) 인 정규분포를 따른다.
  • \(s < t\) 이면 r.v. \(B_t - B_s\) 는 \(r \le s\)인 \(B_r\) 의 값들과 독립이다.
  • 1의 확률로 함수 \(t \mapsto B_t\) 은 $t$ 에 대한 연속 함수이다.

• Standard normal을 따르는 \(Z \sim N(0,1)\) 를 이용해 \(Y = \sigma Z + m\) 이라 나타내면 \(Y \sim N(m, \sigma^2)\) 이듯, \(m=0, \sigma^2=1\) 인 standard Brownian motion \(B_t\) 를 이용해 \(Y_t = \sigma B_t + mt\) 는 drift가 $m$ 이고 variance가 \(\sigma^2\) 인 Brownian motion이 된다.

• timestep이 uncountable한 경우에 BM의 존재성에 대한 이야기 (45-46p)

2.5 Construction of Brownian motion

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2024.02.04

(존재성에 대한 내용이 궁금할 경우에 보면 됨)

2.6 Understanding Brownian motion

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2024.02.04

• 시뮬레이션을 위해 시간 $t$ 를 discretize 해서 $\Delta t$ 에 대해 생각해보면, \(N_k \sim N(0,1)\)에 대해
  \(B_{(k+1)\Delta t}-B_{\Delta t} = \sqrt{\Delta t}N_k\) 이다.
• 그럼 \(\lvert \Delta B_t \rvert = \lvert \Delta B_{t+\Delta t} - B_t\rvert \approx \sqrt{\Delta t}\) 라는 것인데
• 이렇게 되면 도함수의 정의를 생각해봤을 때
  • \(\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta B_{t+\Delta t} - B_t}{\Delta t}\) 의 분자는 \(\sqrt{\Delta t}\) 로 수렴한다.
  • 이 때 작은 값 \(\Delta t\) 에 대해 \(\sqrt{\Delta t}\) 가 \(\Delta t\) 보다 훨씬 크다.
  • 따라서 도함수가 존재할 수 없다.

Theorem 2.6.1

With probability one, the function \(t \mapsto B_t\) is nowhere differentiable.

Theorem 2.6.2

앞으로 사용하는 BM 모델의 Hölder exponent는 1/2

2.6.1

Brownian motion은 continuous martingale 이고

2.6.2

Brownian motion은 Markov process 이고

2.6.3

Brownian motion은 Gaussian process 이다.

2.7 Computations for Brownian motion

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2024.02.04

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2.8 Quadratic variation

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2024.02.04

• Quadratic variation은 다음과 같이 정의된다.
  \(\langle X \rangle _t = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{j \le tn}{\biggr[ X(\frac{j}{n}) - X(\frac{j-1}{n}) \biggr]^2}}\)
• 즉 increment를 제곱해서 모두 더한 것인데, 이 때 increment의 제곱은 \((\Delta x)^2 = \Delta t\) 이므로 \(\sum{\Delta t}\) 와 같다.
• Quadratic variation은 drift와 무관하다.
• Quadratic variation은 $t$ 시점까지의 randomness의 총량 혹은 총 베팅 금액으로 볼 수 있다. (Section 3.2, 97p)

Theorem 2.8.1

drift가 $m$ 이고 variance가 \(\sigma^2\) 인 Brownian motion \(B_t\) 에 대해 \(\langle X \rangle _t=\sigma^2t\) 이다.

Theorem 2.8.2

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2.9 Multidimensional Brownian motion

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2024.02.04

많은 asset의 가치를 동시에 고려하기 위해 d-dimensioinal의 Multidimensional Brownian motion에 대해 다룬다.

• d-dimensional process \(B_t = (B_t^1, ..., B_t^d)\) 이 따르는 조건들도 1차원 Brownian motion이 따르는 조건들을 multivariate하게 바꾼 것들이다. (67p)

• 두 processes \(X, Y\) 에 대해 Covariation을 \(\langle X \rangle _t = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{j \le tn}{\biggr[ X(\frac{j}{n}) - X(\frac{j-1}{n}) \biggr]\biggr[ Y(\frac{j}{n}) - Y(\frac{j-1}{n}) \biggr]}}\) 와 같이 정의한다.

  • 자연스럽게 \(\langle X, X \rangle _t = \langle X \rangle _t\)
• Quadratic variation

2.10 Heat equation and generator

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2024.02.04

• random continuous motion을 하는 heat particle들을 상정하여 Heat flow에 대해 생각해볼 수 있다. heat particle들의 밀도(density)에 의해 1차원 막대 각 지점의 온도가 결정된다고 하자.
• \(p_t(x)\) 가 지점 $x$ 의 시점 $t$ 에서의 온도라 하고, \(\int_R p_t(x) dx = 1\) 라 하면 \(p_t(x)\) 를 Brownian motion의 probability density로 볼 수 있다. 즉 \(B_t\) 에 대응되는 확률분포를 \(p_t(x)\) 로 알 수 있는 것

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2.11 Exercises

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References

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