ODE/SDE, GBM 시뮬레이션
ODE와 SDE의 형태 비교
2024.02.09
Color notation :
differential form
explicit formula
- 미분방정식에 대해 공부할 때 거의 가장 처음으로 접하게 되는 ODE \(y'=y\) 의 해는 \(y = y_0e^{t}\) 와 같이 나타낼 수 있다.
그리고, 현재 시점에서의 가격이 \(B_0\) 인 자산의 이자율이 $r$ 일 경우 $t$ 시점이 지난 후의 가격은 \(B_t = B_0e^{rt}\) 라고 나타낼 수 있다. (continuous compound interest)
이는 \(\frac{dB_t}{dt} = r B_t\) , 또는 \(dB_t = r B_t dt\) 라는 ODE(Ordinary Differential Equation)의 해로 볼 수 있다.
\[\begin{aligned} \frac{dB_t}{dt} & = r B_t \\ \int{\frac{dB_t}{B_t}} & = \int{r dt} \\ ln(B_t) & = rt + C \\ B_t & = e^{rt + C} \\ B_t & = B_0 e^{rt} \\ \end{aligned}\]
- 이는 GBM의 SDE(Stochastic Differential Equation) \(dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\) 를 풀면 \(S_t = S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}\) 라는 해가 나오는 것과 같은 형태.
Geometric Brownian Motion 시뮬레이션
2024.02.10
Geometric Brownian Motion은 다음과 같이 표현할 수 있다.
\(dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\)
Differential form
\(S_t = S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}\)
Explicit formula
diffusion term \(\sigma S_t dW_t\) 의 영향
 |  |  |
- \(S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}\) 라는 식은 시간의 흐름에 따라 \(S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t}\) 의 값을 가지되, 매번 예측할 수 없는 \(e^{\sigma W_t}\) 만큼의 무작위성이 있다는 것으로 이해할 수 있다.
- 따라서 GBM들은 \(S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t}\) 의 그래프(빨간 점선)를 중심으로 한 값들을 가지게 된다.
- 가장 왼쪽 그림과 같이 $N$ 값을 줄여서 보면, \(S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t}\) 를 중심으로 한다는 것을 더 명확히 확인할 수 있다.
- 그런데 \(\sigma=0\) 으로 diffusion term이 없게 된다면, 무위험자산과 동일하게 deterministic한 형태를 띄게 된다. 즉 시간의 흐름에 따른 예측이 정확히 가능하다. (두 번째 그림)
- \(\sigma > 0\) 일 경우 무작위성이 쌓이며 \(S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t}\) 의 그래프에서 점점 멀어지게 된다. (세 번째 그림)
\(\mu\) 의 역할
 |  |  |
\(\mu\) 값은 \(S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t}\) 그래프의 형태를 바꿀 수 있으므로, 이를 이용해 trend를 조정할 수 있다.
\(\sigma\) 의 역할
|  |  |
\(\sigma\) 값이 커질수록 \(S_0 e ^ {(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t}\) 의 그래프에서 멀어짐을 확인할 수 있다.
(\(\mu, \sigma\) 에 상수가 아닌 함수를 넣는 건 나중에… Heston Model, Stochastic Volatility 등 참고)
코드
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(1)
### Parameters
MU = 0.1 # drift coefficient
SIGMA = 0.5 # diffusion coefficient
T = 2 # time in years
N = 50 # # of steps
M = 50 # # of simulations
S_0 = 100 # initial price
### Simulating GBM paths
dt = 1/N
S_t = np.exp(
(MU - SIGMA ** 2 / 2) * dt # drift term
+ SIGMA * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=((N * T),M)) # diffusion term
)
S_t = np.vstack([np.ones(M), S_t]) # ((N * T) x M)
S_t = S_0 * S_t.cumprod(axis = 0)
time = np.linspace(0, T, T * N + 1)
tt = np.full(shape=(M, (T*N)+1), fill_value = time).T
plt.plot(tt, S_t, color='gray', alpha=0.4) # plot GBMs
drift_t = S_0 * np.exp((MU - SIGMA ** 2 / 2) * tt.T[0]) # e^{(μ-σ^2/2)*t}
plt.plot(tt, drift_t, linestyle = '--', color = 'orangered') # plot drift
### Plot
plt.xlabel('Years $(t)$')
plt.ylabel('Stock price $(S_t)$')
plt.title(f'GBM')
plt.show()
### Info
print(f'{T} years')
print(f'{N} steps')
print(f'mu = {MU}')
print(f'sigma = {SIGMA}')
GBM \(S_t\) 의 분포
- Brownian motion의 정의에 따라 $T$ 시점에서 \(W_T \sim N(mT, \sigma^2 T)\) 이다. 다만 보통은 Browian motion / Wiener Process를 정의할 때 \(m=0, \sigma^2=1\) 로 하여 \(W_T \sim N(0, T)\) 라고 본다.1
- GBM은 $T$ 시점에서 \(ln(\frac{S_T}{S_0}) = (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma W_T\) 이므로, \(t=0\) 시점부터 \(t=T\) 시점까지의 로그수익률은 \(ln(\frac{S_T}{S_0}) \sim N((\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T , \sigma^2 T )\) 이다.
기타
- 일일 변동성에 \(\sqrt{252}\) 를 곱해서 연간 변동성을 계산하는 것도 \(W_T \sim N(mT, \sigma^2 T)\) 를 통해 생각해볼 수 있다. 표준편차(변동성)는 \(\sqrt{T}\) 에 비례한다.
References
https://youtu.be/jejjUPfaIXY?si=Dn7o1IAXv2Mlymn8 https://sine-qua-none.tistory.com/238 https://blog.naver.com/chunjein/100154159130